《對數與對數函數》指數函數、對數函數與冪函數PPT(對數函數的性質與圖像)
第一部分內容：課標闡釋
1.理解對數函數的概念,體會對數函數是一類重要的函數模型.
2.會用信息技術作對數函數的圖像.
3.通過具體實例,直觀了解對數函數模型所刻畫的數量關系.
4.熟練掌握對數函數的圖像與性質.
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對數與對數函數PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、對數函數的定義
1.指數式ab=N如何化為對數式?
提示:根據指數式與對數式的互化關系可知logaN=b.
2.在logaN=b(a>0,且a≠1)這一關系式中,若把N看成自變量,b看成函數值,你能得到一個具有什么特征的函數?
提示:可以得到函數y=logax(a>0,且a≠1),此類函數的特征是以真數作為自變量,對數值作為函數值.這類函數就是本節將要研究的對數函數.
3.填空.
一般地,函數y=logax(a>0,a≠1)稱為對數函數.
二、對數函數y=logax(a>0,a≠1,x>0)的圖像與性質
1.利用描點法作出函數y=log2x與函數y=log3x的圖像,進而研究一下函數y=logax(a>0,a≠1,x>0)的底數變化對圖像位置有何影響.
提示:在同一平面直角坐標系中,分別作出函數y=log2x及y=log3x的圖像,如圖所示,可以看出:底數越大,圖像越靠近x軸.同理,當0<a<1時,底數越小,函數圖像越靠近x軸.利用這一規律,我們可以解決真數相同,對數不等時底數大小的問題.
類似地,在同一平面直角坐標系中分別作出y=logax(a>1)及y=logax(0<a<1)的圖像.如右圖所示,它們的圖像在第一象限的規律是:直線x=1把第一象限分成兩個區域,每個區域里對數函數的底數都是由左向右逐漸增大.比如,C1,C2,C3,C4分別對應y=log_(𝑎_1 )x,y=log_(𝑎_2 )x,y=log_(𝑎_3 )x,y=log_(𝑎_4 )x,則必有a4>a3>1>a2>a1>0.
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對數與對數函數PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
求對數函數的定義域
例1 (1)函數f(x)=√(x+1)+ln(4-x)的定義域為( )
A.[-1,4) B.(-1,+∞) C.(-1,4) D.(4,+∞)
(2)函數y=loga√(x"-" 1)(a>0,a≠1)的定義域為 .
反思感悟求對數函數定義域的步驟
對數函數的圖像及應用
例2作出函數f(x)=|lo g3x|的圖像,并求出其值域、單調區間以及在區間[1/9 "," 6]上的最大值.
解:f(x)=|log3x|={■(log_3 x"," x≥1"," @"-" log_3 x"," 0<x<1"," )┤所以在[1,+∞)內f(x)的圖像與y=log3x的圖像相同,在(0,1)內f(x)的圖像與y=log3x的圖像關于x軸對稱,據此可畫出其圖像如圖所示.
從圖像可知,函數f(x)的值域為[0,+∞),遞增區間是[1,+∞),遞減區間是(0,1).
當x∈[1/9 "," 6]時,f(x)在[1/9 "," 1]上是單調遞減的,在(1,6]上是單調遞增的.
又f(1/9)=2,f(6)=log36<2,故f(x)在[1/9 "," 6]上的最大值為2.
反思感悟與對數函數有關的圖像問題注意以下規律:
(1)一般地,函數y=-f(x)與y=f(x)的圖像關于x軸對稱,函數y=f(-x)與y=f(x)的圖像關于y軸對稱,函數y=-f(-x)與y=f(x)的圖像關于原點對稱.
利用上述關系,可以快速識別一些函數的圖像.
(2)與對數函數有關的一些對數型函數,如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其圖像可由y=logax的圖像,通過平移變換、對稱變換或翻折變換得到.
延伸探究將以上例題中的函數改為“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下問題.
(1)作出函數圖像,并寫出函數的值域及單調區間;
(2)若方程f(x)=k有兩解,求實數k的取值范圍.
解:(1)函數f(x)=|log3(x+1)|的圖像如圖所示.
由圖像知,其值域為[0,+∞),f(x)在(-1,0]上是減少的,在[0,+∞)內是增加的.
(2)由(1)的圖像知,當k>0時,方程f(x)=k有兩解,故k的取值范圍是(0,+∞).
利用對數函數的性質比較大小
例3 比較大小:
(1)log0.27與log0.29;
(2)log35與log65;
(3)(lg m)1.9與(lg m)2.1(m>1);
(4)log85與lg 4.
解:(1)log0.27和log0.29可看作是函數y=log0.2x,當x=7和x=9時對應的兩個函數值,由y=log0.2x在(0,+∞)上是減函數,得log0.27>log0.29.
(2)函數y=log3x(x>1)的圖像在函數y=log6x(x>1)的圖像的上方,故log35>log65.
(3)把lg m看作指數函數y=ax(a>0,且a≠1)的底數,要比較兩數的大小,關鍵是比較底數lg m與1的關系.
若lg m>1,即m>10,則y=(lg m)x在R上是增函數,故(lg m)1.9<(lg m)2.1;若0<lg m<1,即1<m<10,則y=(lg m)x在R上是減函數,故(lg m)1.9>(lg m)2.1;若lg m=1,即m=10,則(lg m)1.9=(lg m)2.1.
(4)因為底數8,10均大于1,且10>8,
所以log85>lg 5>lg 4,即log85>lg 4.
反思感悟1.如果兩個對數的底數相同,則由對數函數的單調性(當底數a>1時,函數為增函數;當底數0<a<1時,函數為減函數)比較.
2.如果兩個對數的底數和真數均不相同,那么通常引入中間值進行比較.
3.如果兩個對數的底數不同而真數相同,如y1=log_(a_1 )x與y2=log_(a_2 )x的大小比較(a1>0,a1≠1,a2>0,a2≠1),
(1)當a1>a2>1時,根據對數函數圖像的變化規律知當x>1時,y1<y2;當0<x<1時,y1>y2.
(2)當0<a2<a1<1時,根據對數函數圖像的變化規律知當x>1時,y1<y2;當0<x<1時,y1>y2.
對于含有參數的兩個對數值的大小比較,要注意根據對數的底數是否大于1進行分類討論.
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對數與對數函數PPT，第四部分內容：思維辨析
因忽視真數的取值范圍而致誤
典例 解不等式loga(2x-5)>loga(x-1).
錯解一由2x-5>x-1,得x>4,故原不等式的解集為{x|x>4}.
錯解二由{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4,故原不等式的解集為{x|x>4}.
錯解三原不等式可等價變形為{■(2x"-" 5>0"," @x"-" 1>0"," @2x"-" 5>x"-" 1"," )┤
解得x>4.
所以當a>1時,原不等式的解集為{x|x>4};
當0<a<1時,原不等式的解集為{x├|5/2<x<4}┤.
以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?
提示:錯解一中沒考慮真數的取值范圍,也沒有對a進行分類討論;錯解二中沒有對a進行分類討論;錯解三中出現邏輯性錯誤,運算變形的順序出現了問題,即開始默認了a>1對原不等式進行了轉化是不正確的,雖然后來對a又進行了討論,看起來結果正確,而實際上解答過程是錯誤的.
防范措施1.在解決含有對數式的方程或不等式時,一定要注意底數及真數的限制條件,一般要有檢驗的意識.
2.當對數的底數含參數時,不能直接化簡原式,需要對參數進行分類討論,做到不重復、不遺漏.
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對數與對數函數PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.設0<x<1,且有logax<logbx<0,則a,b的大小關系是 ( )
A.0<a<b<1 B.1<a<b
C.0<b<a<1 D.1<b<a
答案:B
解析:結合對數函數的圖像及其性質可知b>a>1.
2.方程log2(x+2)=x2的實數解有( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
答案:C
解析:在同一平面直角坐標系中分別畫出y=log2(x+2)與y=x2的圖像,如圖所示.由圖像觀察知,二者有兩個交點,所以方程log2(x+2)=x2有兩個解.
3.函數f(x)=log2(3x2-2x-1)的單調增區間為_________.
答案:(1,+∞)
解析:由3x2-2x-1>0,得x<-1/3或x>1,
即f(x)的定義域為("-∞,-" 1/3)∪(1,+∞).
令u(x)=3x2-2x-1=3(x"-" 1/3)^2-4/3,其函數圖像的對稱軸為x=1/3,
所以[1/3 "," +"∞" )是u(x)的單調增區間.
結合函數的定義域可知,f(x)的單調增區間為(1,+∞).
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