《復數的三角表示》復數PPT課件(復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義)
第一部分內容：內容標準
1.了解復數乘、除運算的三角表示．
2.了解復數乘、除運算的幾何意義．
3.會利用復數三角形式進行復數乘、除運算.
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復數的三角表示PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點一 復數三角形式的乘法、除法法則
預習教材，思考問題
若復數z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能根據復數的乘法運算計算z1z2，并將結果表示成三角形式嗎？
知識梳理 設復數z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，
z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2.
知識點二 復數三角形式的乘法、除法幾何意義
知識梳理 復數z1，z2對應的向量分別為OZ1→，OZ2→
①復數乘法的幾何意義：
兩個復數z1，z2相乘時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數就是______ .這是復數乘法的幾何意義．
②復數除法的幾何意義：
兩個復數z1，z2相除時，如圖，把向量OZ1→繞點O按______方向旋轉角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1→繞點O按______方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變為原來的______倍，得到向量OZ→，OZ→表示的復數就是商z1z2.這是復數除法的幾何意義．
[自主檢測]
1．復數z＝(cos 25°＋isin 25°)(cos 50°＋isin 50°)的三角形式是( )
A．cos (－25°)＋isin (－25°)
B．sin 75°＋icos 75°
C．cos 15°＋isin 15°
D．cos 75°＋isin 75°
2．計算：3(cos π3＋isin π3)÷2(cos 5π6＋isin 5π6)＝_________.(用代數形式表示)
3．將復數1＋i對應的向量OM→繞點O按逆時針方向旋轉π4，得到的向量為OM1→，那么OM1→對應的復數是________(用代數形式表示)．
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復數的三角表示PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究
探究一 復數三角形式的乘法運算
[例1] 計算下列各式：
(1)16(cos4π3＋isin4π3)×4(cos5π6＋isin5π6)；
(2) 3(cos 20°＋isin 20° )[2(cos 50°＋isin 50°)]
[10(cos 80°＋isin 80° )]；
(3)(－1＋i)[3(cos 7π4＋isin 7π4)] .
[分析] 代入復數三角形式的乘法法則計算即可．
方法提升
復數三角形式的乘法運算
(1)直接利用復數三角形式的乘法法則：模數相乘，輻角相加．
(2)若遇到復數的代數形式與三角形式混合相乘時，需將相混的復數統一成代數形式或三角形式，然后進行復數的代數形式相乘或三角形式相乘．
探究二 復數三角形式的除法運算
[例2] (1) 計算：
4(cos 80°＋isin 80°)÷2(cos 320°＋isin 320°)；
(2)已知復數z＝r(cos θ＋isin θ)，r≠0，求1z的三角形式．
方法提升
復數三角形式的除法運算
(1)利用復數三角形式的除法法則：模數相除，輻角相減．
(2)一個非零復數的倒數，其模是原來復數的模的倒數，其輻角是原來復數輻角的相反數．
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復數的三角表示PPT，第四部分內容：課后 • 素養培優
數形結合思想在復數三角形式的乘除運算中的應用
直觀想象、邏輯推理、數學運算
復數的三角形式，就是形的的體現．利用數形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．
[典例] 若向量OZ1→與OZ2→分別表示復數z1＝1＋23i，z2＝7＋3i, 則∠Z2OZ1＝________.
[審題視角] 先作出向量OZ1→與OZ2→，根據圖形，將∠Z2OZ1轉化為復數z1與z2的輻角的差，再借助復數除法的幾何意義轉化為z1z2的輻角主值．
[素養提升] 本題是復數與角的大小之間的關系，因此考慮復數三角形式的乘除運算的幾何意義，需要畫出復數對應的向量，借助圖形，將∠Z2OZ1轉化為復數z1與z2的輻角的差．利用數形結合和除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題，使問題變得簡單、方便．
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