《復數的三角表示》復數PPT課件(復數的三角表示式)
第一部分內容：內容標準
1.通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示．
2.了解復數的輻角及輻角的主值的含義．
3.了解復數的代數表示與三角表示之間的關系.
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復數的三角表示PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點 復數的三角表示式
預習教材，思考問題
(1)如圖，角θ的終邊上一點P(x，y)，設P到原點O的距離|OP|＝r，那么怎樣用角θ和r表示x，y?
(2)我們知道，復數可以用a＋bi(a，b∈R)的形式來表示，復數a＋bi與復平面內的點Z(a，b)一一對應，與平面向量OZ→＝(a，b)也是一一對應的，如圖，你能用向量OZ→的模r和以x軸的非負半軸為始邊，以向量OZ→所在射線(射線OZ)為終邊的角θ來表示復數z嗎？
知識梳理 (1)復數的輻角：以x軸的非負半軸為始邊，____________為終邊的角，叫做復數z＝a＋bi的輻角．我們規定在______范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z ，即______ .
(2)復數的三角形式：一般地，任何一個復數z＝a＋bi都可以表示成______的形式．其中，r是復數的______；θ是復數z＝a＋bi的輻角．______ 叫做復數z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．為了與三角形式區分開來，______ 叫做復數的代數表示式，簡稱代數形式．
(3)兩個用三角形式表示的復數相等的充要條件：兩個非零復數相等當且僅當它們的______與______分別相等．
[自主檢測]
1．復數1＋3i化成三角形式，正確的是( )
A．2(cos 2π3＋isin 2π3)
B．2(cos π3＋isin π3)
C．2(cos 5π3＋isin 5π3)
D．2(cos 11π6＋isin 11π6)
2．復數z＝－sin 100°＋icos 100°的輻角主值是( )
A．80° B．100°
C．190° D．260°
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復數的三角表示PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究
探究一 復數的三角形式
[例1] 下列復數是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．
(1) z1＝ cos 60°＋isin 30° ；
(2) z2＝2(cos π5－isin π5)；
(3) z3＝－sin θ＋icos θ .
(2)由“加號連”知，不是三角形式．復平面上的點Z2(2cos π5，－2sin π5)在第四象限，不需要改變三角函數名稱，可用誘導公式“2π－π5”或“－π5”變換到第四象限．
所以z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[cos(－π5)＋isin (－π5)]或z2＝2(cos π5－isin π5)＝2[(cos(2π－π5)＋isin (2π－π5)]＝2(cos 9π5＋isin9π5)，考慮到復數輻角的不唯一性，復數的三角形式也不唯一．
(3)由“余弦前”知，不是三角形式．復平面上的點Z3(－sin θ，cos θ)在第二象限(假定θ為銳角)，需要改變三角函數名稱，可用誘導公式“π2＋θ”將θ變換到第二象限．
所以z3＝ －sin θ＋icos θ＝cos (π2＋θ)＋isin (π2＋θ) .
方法提升
復數三角形式的判斷依據和變形步驟
(1)判斷依據：三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．
(2)變形步驟：首先確定復數z對應點所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次判斷是否要變換三角函數名稱，最后確定輻角．此步驟可簡稱為“定點→定名→定角”.
探究二 復數的代數形式表示成三角形式
[例2] 畫出下列復數對應的向量，指出它們的模和輻角的主值，并把這些復數表示成三角形式：
(1)3i；(2)－10；(3)2－2i ；(4) －1＋3i.
(2)復數－10對應的向量如圖所示，
則模r＝10，對應的點在x軸的負半軸上，所以arg(－10)＝π.所以－10＝10(cos π＋isin π)．
方法提升
復數的代數形式化三角形式的步驟
(1)先求復數的模；
(2)決定輻角所在的象限；
(3)根據象限求出輻角(常取它的主值)；
(4)寫出復數的三角形式．
探究三 把復數表示成代數形式
[例3] 分別指出下列復數的模和一個輻角，并把這些復數表示成代數形式：
(1)10(cos π3＋isinπ3)；
(2)14(cos 5π6＋isin5π6)；
(3)2(cos 45°－isin 45°)．
方法提升
1．類似三角形式的復數求模和輻角時，注意三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．
2．由三角形式表示成代數形式，直接求出角的三角函數值，化簡即可．
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復數的三角表示PPT，第四部分內容：課后 • 素養培優
復數的三角形式
邏輯推理、數學運算
在求復數的三角形式時，需要進行復雜的三角恒等變換，在變換時一定要根據復數三角形式的結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連，確定判斷的依據和變形的方向．只要角的范圍在[0,2π]即可．
[素養提升] 1.在表示復數的三角形式時，要嚴格套用復數三角形式的四個結構特征：模非負，角相同，余弦前，加號連．
2．注意復數輻角的主值范圍[0,2π).
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