《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT課件(第1課時均值不等式)
第一部分內容：學 習 目 標
1.掌握均值不等式，明確均值不等式成立的條件．(難點)
2．會用均值不等式證明一些簡單的不等式或比較代數式的大�。�(重點)
核 心 素 養
1.通過不等式的證明，培養邏輯推理的素養．
2．通過均值不等式形式求簡單的最值問題，提升數學運算的素養.
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均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．算術平均值與幾何平均值
對于正數a，b，常把a＋b2叫做a，b的_________，把ab叫做a，b的_________．
2．均值不等式
(1)當a＞0，b＞0時，有a＋b2 ab，當且僅當a＝b時，等號成立；
(2)均值不等式的常見變形
①當a＞0，b＞0，則a＋b≥2ab；
②若a＞0，b＞0，則ab a＋b22.
初試身手
1．不等式a2＋1≥2a中等號成立的條件是( )
A．a＝±1 B．a＝1
C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2ab C．2ab D．a＋b
3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4．當a，b∈R時，下列不等關系成立的是________．
①a＋b2≥ab；②a－b≥2ab；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
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均值不等式及其應用PPT，第三部分內容：合作探究提素養
對均值不等式的理解
【例1】給出下面三個推導過程：
①∵a，b為正實數，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a•a＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導為( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
規律方法
1．均值不等式ab≤a＋b2 (a＞0，b＞0)反映了兩個正數的和與積之間的關系．
2．對均值不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：
(1)定理成立的條件是a，b都是正數．
(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，ab≤a＋b2的等號成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；僅當a＝b時，a＋b2≥ab的等號成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.
利用均值不等式比較大小
【例2】(1)已知a，b∈(0，＋∞)，則下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2ab B.ba＋ab≥2
C.a2＋b2ab≥2ab D.2aba＋b≥ab
(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關系是________．
規律方法
1．在理解均值不等式時，要從形式到內含中理解，特別要關注條件．
2．運用均值不等式比較大小時應注意成立的條件，即a＋b≥2ab成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.
利用均值不等式證明不等式
【例3】已知a，b，c是互不相等的正數，且a＋b＋c＝1，求證：1a＋1b＋1c>9.
規律方法
1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創造條件，另一方面可實現約分與不等式的右邊建立聯系．
2．先局部運用均值不等式，再利用不等式的性質(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用均值不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．
課堂小結
1．應用均值不等式時要時刻注意其成立的條件，只有當a>0，b>0時，才會有ab≤a＋b2.對于“當且僅當……時，‘＝’成立…”這句話要從兩個方面理解：一方面，當a＝b時，a＋b2＝ab；另一方面：當a＋b2＝ab時，也有a＝b.
2．應用均值不等式證明不等式的關鍵在于進行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構造出符合均值不等式的條件結構.
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均值不等式及其應用PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab均成立．( )
(2)若a≠0，則a＋1a≥2a•1a＝2.( )
(3)若a>0，b>0，則ab≤a＋b22.( )
[提示](1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當a，b都為正數時，不等式a＋b≥2ab成立．
(2)只有當a>0時，根據均值不等式，才有不等式a＋1a≥2a•1a＝2成立．
(3)因為ab≤a＋b2，所以ab≤a＋b22.
2．設a>b>0，則下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0 B．0<ab<1
C.ab<a＋b2 D．ab>a＋b
3．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號成立的條件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4．設a>0，b>0，證明：b2a＋a2b≥a＋b.
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